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コンデンサの静電容量と電荷の計算の基本(直列接続と並列接続)

コンデンサが直列に接続された場合や並列に接続された場合のコンデンサの静電容量、コンデンサに蓄えられる電荷についての問題は、電験三種の理論でもよく出題されていて、電気回路の計算の基礎的なところになります。

 

このページではコンデンサが1個の場合、直列接続の場合、並列接続の場合のコンデンサの静電容量とコンデンサに蓄えられる電荷の基本的な考え方、計算方法について解説します。

 

コンデンサが1個のときのコンデンサの静電容量と蓄えられる電荷

コンデンサが1個のときの計算(式)がコンデンサと電荷の計算をするときの基本になりますので、まずはコンデンサが1個の場合からいってみましょう。

 

コンデンサが1個のときのコンデンサの静電容量

コンデンサが1個のときのコンデンサの静電容量は公式そのままで、コンデンサの静電容量をC[F]、誘電体の誘電率をε[F/m]、電極板面積をS[m2]、電極板間隔をd[m]とすると次の式になります。

 

コンデンサの静電容量の公式とコンデンサの図

 

この式の意味は、誘電率ε、または電極板面積Sが大きくなるとコンデンサの静電容量Cは大きくなり、電極板間隔dが大きくなるとコンデンサの静電容量Cは小さくなります。 

 

という意味ですね。この公式は基本なので必ずおぼえておくようにしましょう。

 

次はコンデンサに蓄えられる電荷についてです。

 

コンデンサが1個のときのコンデンサに蓄えられる電荷

このコンデンサに直流電圧V[V]をかけてみます。

 

コンデンサ1個に電圧Vを印加

 

すると、コンデンサは直流電流を流すことができないので電流は流れませんが、直流電圧のプラス側に接続された側には正の電荷が、マイナス側に接続された側には負の電荷が蓄えられます。
(※厳密に言えば、コンデンサに電荷が貯まりきるまでの短い時間であれば直流であっても電流は流れます。この電荷が貯まりきるまでに流れる電流について詳しく知りたい方はRC直列回路の過渡現象のページを参考にしてみてください。)

 

コンデンサには直流電流は流れないが電荷が蓄えられる

 

このときの蓄えられる電荷の大きさをQ[C]とすると、電荷の大きさQは次の公式で与えられます。

 

コンデンサの電荷の公式とコンデンサの図

 

以上より、コンデンサが1個のときのコンデンサの静電容量と蓄えられる電荷は公式そのままで計算できます。公式だけおぼえておけば簡単ですね。

 

コンデンサの静電容量と電荷の公式

 

コンデンサが直列接続されたときのコンデンサの静電容量と蓄えられる電荷

次はコンデンサ2個が直列接続されたときのコンデンサの静電容量と蓄えられる電荷についてです。

 

コンデンサが2個直列接続されたときのコンデンサの静電容量

2つのコンデンサの静電容量をそれぞれC1[F]、C2[F]とすると、コンデンサが2個直列接続されたときの回路図は次のようになります。

 

コンデンサが2個直列接続されたときの回路図

 

コンデンサを直列接続したときの合成静電容量はどうなるのでしょうか?
(抵抗の場合には、2個、3個の抵抗を1個の抵抗として考えたときの抵抗を合成抵抗といいますが、コンデンサの場合は静電容量なので「合成静電容量」といいます。)

 

2個のコンデンサが直列接続されたときの合成静電容量は「和分の積」で求められます。

 

え? なんか変?

 

そう、変(?)なんです。コンデンサの合成静電容量を求めるときと抵抗の合成抵抗を求めるときでは求め方(和分の積か?ただ足すだけか?)が逆になります。

 

コンデンサの合成静電容量と抵抗の合成抵抗の求め方の違い(直列接続)

 

したがって、コンデンサが2個直列接続のときの合成静電容量Cは、

 

コンデンサが2個直列接続のときの合成静電容量の式

 

コンデンサが2個直列接続のときの合成静電容量

 

コンデンサが2個直列接続されたときのコンデンサに蓄えられる電荷

2個直列接続されたコンデンサに直流電圧V[V]をかけてみます。すると、コンデンサC1とC2には図のように電荷が蓄えられ、このときに蓄えられる電荷の大きさはC1とC2で同じ大きさになります。

 

直列接続されたコンデンサに蓄えられる電荷の大きさは同じ

 

この コンデンサが直列接続のときには各コンデンサに蓄えられる電荷の大きさは同じになる というのがコンデンサの直列接続を考えるときの大事なポイント(基本!)になるので、必ずおぼえておきましょう。これさえ分かっていれば、コンデンサの直列接続の問題は解けます!(たぶん)

 

ちなみに、コンデンサが3つ、4つ・・・と増えても同じです。

 

コンデンサが3個、4個直列接続のときの各コンデンサの電荷

 

それでは、コンデンサが2個直列接続されたときの電荷の大きさを計算してみましょう。直列接続なので回路図は次のようになりますよね。

 

コンデンサが2個直列接続のときの回路図

 

それで、電気回路の計算をするときには、求める値(分からない値)については未知数で与えます。(これ、基本です!)

 

ここで求めたいのは電荷なので、コンデンサC1、C2に蓄えられる電荷をQ1、Q2としましょう。それから、コンデンサC1、C2の電圧も分からないので、C1、C2の電圧をV1、V2とします。すると、回路図にQ1、Q2、V1、V2も書き込むと次のようになります。

 

未知数を書き込んだコンデンサの直列回路の回路図

 

あとは、この回路図をみて、分かるところから式をたてて計算していくだけです。

 

この回路の電源電圧はVで、その電圧VがコンデンサC1とC2に分圧されてかかるので、次の式が成り立ちますね。

 

V=V1+V2 ・・・@

 

それから、コンデンサC1のところをみると、コンデンサC1の電圧はV1なので、ここにコンデンサの公式(Q=CV)をあてはめます。すると、

 

Q1=C1V1 ・・・A  になります。

 

同じようにコンデンサC2のところにもコンデンサの公式(Q=CV)をあてはめると、

 

Q2=C2V2 ・・・B  になります。

 

すると、@〜Bの式ができました。

 

@〜Bの連立方程式

 

これらの式(連立方程式)をみると、未知数がQ1、Q2、V1、V2の4つで式が3つ・・・

 

あ、解けません。

 

連立方程式は「式の数」が「未知数の数」以上ないと解けないんです。未知数が4つあるので、もう一つ式がほしいですね。何か式を立てられないですか?

 

あ、ありました。大事なことを忘れていました。

 

コンデンサが直列接続されているときには、コンデンサに蓄えられる電荷の大きさはすべて同じになるのでした! なので、次の式も成り立ちますね。

 

Q1=Q2 ・・・C

 

これで式が4つそろいました。

 

未知数が3つ、式が3つの連立方程式

 

未知数が4つ(Q1、Q2、V1、V2)、式が4つなのでこれなら解けますね。では解いていきましょう。

 

C式よりQ1=Q2なので、これをB式に代入して未知数を3つ(Q1、V1、V2)、式を3つに減らします。

 

未知数が3つ、式が3つの連立方程式

 

B’をA式に代入して、未知数を2つ(V1、V2)、式を2つに減らします。

 

未知数が2つ、式が2つの連立方程式

 

A’よりV1を@式に代入する

 

コンデンサC2の電圧V2の計算過程

 

コンデンサC2の電圧V2の式・・・D

 

V2が求められたので、Dを@式に代入してV1を求めます。

 

コンデンサC1の電圧V1の計算過程@

 

コンデンサC1の電圧V1の計算過程A

 

コンデンサC1の電圧V1の式・・・E

 

@、A’式を使ってV1、V2が求められたので、次はEをA式に代入してQ1を求めます。すると、

 

コンデンサC1の電荷Q1の計算過程@

 

コンデンサC1の電荷Q1の式・・・F

 

C式よりQ1=Q2なのでQ2は、

 

コンデンサC2の電荷Q2の式・・・G

 

となります。

 

以上D、E、F、Gより、V1、V2、Q1、Q2が求められました。

 

コンデンサの直列接続回路と各値

 

直列接続されたコンデンサの電荷を求めるときは、このように連立方程式をたてて、それを解いていけばいいです。

 

連立方程式の解き方(どの式を、どう使って、どの順番で解いていくか)は何パターンもあるので、自分で解きやすい方法を見つけて解いていくようにしましょう。(ここでの連立方程式の解き方は、ちょっとまわりくどい解き方をしています。)

 

 


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コンデンサが並列接続されたときのコンデンサの静電容量と蓄えられる電荷

次はコンデンサ2個が並列接続されたときのコンデンサの静電容量と蓄えられる電荷についてです。

 

コンデンサが2個並列接続されたときのコンデンサの静電容量

2つのコンデンサの静電容量をそれぞれC1、C2とすると、コンデンサが2個並列接続されたときの回路図は次のようになります。

 

コンデンサが2個並列接続されたときの回路図

 

コンデンサを並列接続したときの合成静電容量はどうなるのでしょうか?

 

2個のコンデンサが並列接続されたときの合成静電容量は「ただ足すだけ」で求められます。

 

並列接続の場合も、合成抵抗を求めるときと求め方(和分の積か?ただ足すだけか?)が逆になります。

 

コンデンサの合成静電容量と抵抗の合成抵抗の求め方の違い(並列接続)

 

したがって、コンデンサが2個並列接続のときの合成静電容量Cは、

 

C=C1+C2  となります。

 

コンデンサが2個並列接続のときの合成静電容量

 

コンデンサが2個並列接続されたときのコンデンサに蓄えられる電荷

2個並列接続されたコンデンサに直流電圧V[V]をかけてみます。すると、コンデンサC1とC2には図のように電荷が蓄えられ、このときのコンデンサC1とC2の電圧は同じ大きさV[V]になります。

 

並列接続されたコンデンサの電圧の大きさは同じ

 

この コンデンサが並列接続のときには各コンデンサの電圧の大きさは同じになる というのがコンデンサの並列接続を考えるときの大事なポイント(基本!)になるので、必ずおぼえておきましょう。これさえ分かっていれば、コンデンサの並列接続の問題は解けます!(たぶん)

 

ちなみに、コンデンサが3つ、4つ・・・と増えても同じです。

 

コンデンサが3個、4個並列接続のときの各コンデンサの電圧

 

それでは、コンデンサが2個並列接続されたときの電荷の大きさを計算してみましょう。並列接続なので回路図は次のようになりますよね。

 

コンデンサが2個並列接続のときの回路図

 

直列接続のときと同じように、求める値(分からない値)を未知数で与えます。(これ、基本です!)

 

ここで求めたいのは電荷なので、コンデンサC1、C2に蓄えられる電荷をQ1、Q2としましょう。それから、コンデンサC1、C2の電圧もV1、V2とします。(ま、V1、V2は直流電圧V[V]なんですけどね、とりあえずってことで。)

 

すると、回路図にQ1、Q2、V1、V2も書き込むと次のようになります。

 

未知数を書き込んだコンデンサの並列回路の回路図

 

あとは、この回路図をみて、分かるところから式をたてて計算していくだけです。

 

この回路の電源電圧はVで、その電圧VがコンデンサC1とC2にそのままかかるので、次の式が成り立ちますね。

 

V=V1 ・・・@
V=V2 ・・・A

 

それから、コンデンサC1のところをみると、コンデンサC1にかかる電圧はV1なので、ここにコンデンサの公式(Q=CV)をあてはめてみます。すると、

 

Q1=C1V1 ・・・B  になります。

 

同じようにコンデンサC2のところにもコンデンサの公式(Q=CV)をあてはめると、

 

Q2=C2V2 ・・・C  になります。

 

すると、@〜Cの式ができました。

 

@〜Cの連立方程式

 

これらの式をみると、未知数が4つ(Q1、Q2、V1、V2)で式が4つの連立方程式なので解けますね。では、解いていきましょう。

 

@、A式より、電圧V1、V2はVなので、@、AをA、B式に代入します。すると、

 

A’、B’の連立方程式

 

あ、Q1、Q2がでちゃいました。

 

∴Q1=C1V ・・・A’ (←Q1が求められた)

 

∴Q2=C2V ・・・B’ (←Q2が求められた)

 

コンデンサの電圧は既に@、Aで、でていますね。

 

∴V1=V ・・・@ (←V1が求められた)

 

∴V2=V ・・・A (←V2が求められた)

 

以上@、A、A’、B’より、Q1、Q2、V1、V2が求められました。

 

コンデンサの並列接続回路と各値

 

コンデンサが並列接続のときは、コンデンサC1とC2の電圧がどちらも直流電圧Vになるので計算も簡単になります。

 

最後に、コンデンサの静電容量と電荷の計算の基本についてまとめておきます。

コンデンサの静電容量と電荷の計算の基本のまとめ

コンデンサの静電容量の公式
コンデンサに蓄えられる電荷の公式
・コンデンサが直列接続のとき、各コンデンサに蓄えられる電荷の大きさは同じになる
・コンデンサが並列接続のとき、各コンデンサの電圧の大きさは同じになる

 

補足|コンデンサが3個以上直列接続されたときの合成静電容量

コンデンサが2個直列接続のときの合成静電容量は和分の積で求められますが、3個以上になると和分の積では求められません。3個以上のときは次の式で求めましょう。
コンデンサが3個以上直列接続のときに合成静電容量を求める式
抵抗が3個以上並列接続されたときの合成抵抗を求めるときと同じ形の式になります。

 

コンデンサの合成静電容量についてはこちらの合成静電容量の求め方(計算方法)にまとめていますので参考にしてみてください。

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