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RC直列回路の過渡現象の解き方

RC直列回路に流れる電流の一般解の求め方

次の図のように直流電源E[V]に抵抗R[Ω]とコンデンサC[F]が直列に接続されたRC直列回路において、この回路に流れる電流の一般解を求めてみます。
なお、スイッチSを入れる前のコンデンサCに蓄えられている電荷はゼロとします。(つまり、コンデンサの初期電荷はなく、t=0でq(0)=0)

 

RC直列回路の回路図

 

ここで、一般解を求めるとは、定常状態の領域を表わす定常解と過渡状態の領域を表わす過渡解を合わせたもの(式)を求めることで、「一般解を求める=回路の過渡現象を解く」とほぼ同じ意味と思っておけばいいでしょう。

 

それから、回路の過渡現象を解く基本的な手順(流れ)は次のようになります。

回路の過渡現象を解く基本的な手順

@対象の回路の回路方程式(微分や積分が含まれる)をたてる
A初期条件を考慮して@の微分方程式(または積分方程式)を解く

ざっくり言ってしまえばこれだけですが、上に記載した解く手順Aの「微分方程式(または積分方程式)を解く」ことが回路によっては大変になったりします。

 

それでは、RC直列回路(CR直列回路)に流れる電流の一般解を求めてみます。

 

まず初めに回路の回路方程式をたてます。

 

この回路に流れる電流をi(t)[A]とすると、

 

RC直列回路と流れる電流i(t)

 

キルヒホッフの第二法則(電圧則)を適用すれば回路方程式は次の@式(積分方程式)で与えられます。

 

RC直列回路の回路方程式(積分方程式)・・・@式

 

RC直列回路の電圧降下

 

ここでちょっと補足ですが、コンデンサCの電圧降下の式は次のようにして求めます。

 

コンデンサCに蓄えられる電荷をq(t)[C]とすると、電流と電荷の関係は次の式で与えられます。

 

電流と電荷の関係式

 

それで、上式の両辺をtで積分します。すると、

 

電流と電荷の関係式の展開
(この式の意味は、電流を積分すると電荷になりますよ、という意味ですね。)

 

あとはコンデンサの公式(Q=CV)にあてはめるだけです。コンデンサCの電圧降下をeC(t)とすると、

 

コンデンサの電圧降下の式の展開

 

したがって、コンデンサの電圧降下は、eC(t)=1/C∫i(t)dt となります。

 

それでは、話を回路方程式(@式)に戻します。

 

@の回路方程式がたてられたので、あとは@式の積分方程式を解くだけなのですが、@式は積分の形で与えられています。これを計算しやすくするため、先ほどの電流と電荷の関係式を使って微分の形にもっていきます。

 

電流と電荷の関係式より、次の2式が成り立ちますね。

 

電流と電荷の関係を表わす2つの式

 

これらを@式に代入します。すると、

 

電荷で表わしたRC直列回路の微分方程式・・・A式

 

A式は電流の式ではなく電荷の式になっていますが、A式を電荷q(t)について解いて、電流と電荷の関係式を使って電流i(t)の式にすれば電流i(t)を求めることができます。

 

では、A式の微分方程式を電荷q(t)について解いていきましょう。

 

微分方程式はその方程式の形で色々な解き方があったり、ラプラス変換を使って解いたりすることができますが、ここでは微分方程式の解法の一つである変数分離法を使って解くことにします。
(この形の微分方程式を解くときは、変数分離法が一番簡単(楽)だと思います。)

 

変数分離法は名前の通り、変数を左辺と右辺に分離して解いていく方法で、A式をみると、電源電圧E、抵抗R、コンデンサの容量Cは定数なので、ここでの変数は電荷q(t)と時間tになります。

 

なので、電荷q(t)(変数)に関するものは左辺に、時間tに関するものは右辺になるようにA式を変形します。

 

RC直列回路の回路方程式(電荷の微分方程式)の展開@

 

RC直列回路の回路方程式(電荷の微分方程式)の展開A

 

RC直列回路の回路方程式(電荷の微分方程式)の展開B

 

RC直列回路の回路方程式(電荷の微分方程式)の展開C

 

RC直列回路の回路方程式(電荷の微分方程式)の展開D

 

計算をしやすくするため、もうちょっと変形しておきます。

 

RC直列回路の回路方程式(電荷の微分方程式)の展開E

 

これで左辺は電荷q(t)(変数)に関するもの、右辺は時間t(変数)に関するものとなり、2つの変数を左辺と右辺に分離することができました。(定数は変数ではないので、左辺にあっても右辺にあってもいいです。)

 

変数と定数の別・・・B式

 

変数を分離できたので、あとは両辺を積分して計算を続けていきます。

 

B式の両辺を積分(両辺に積分記号を付けるだけ)すると、

 

両辺を積分した式・・・C式

 

では、C式の左辺から計算してみましょう。

 

C式の左辺は∫1/x dxの形の積分なので、積分の公式より、

 

C式の左辺の展開@

 

D式に絶対値が付いているので、これを外しましょう。

 

絶対値の中はq(t)−CEですが、q(t)はコンデンサCに蓄えられていく電荷で、CEは電源電圧EがコンデンサCにすべてかかっている状態(つまり、定常状態)での電荷なので、q(t)≦CEとなり、絶対値の中は常にゼロ以下になります。

 

なので、絶対値の中(q(t)−CE)にマイナスをかけると絶対値を外すことができます。つまり、

 

C式の左辺の展開A・・・E式

 

C式の左辺の展開B・・・F式

 

これでC式の左辺は計算できたので、次はC式の右辺について考えます。

 

1/RCは定数なので、そのまま積分の外に出します。すると、

 

C式の右辺の展開@・・・G式

 

以上でC式の左辺と右辺が計算できたので、F、G式をC式に戻すと次のH式になります。

 

RC直列回路の回路方程式(電荷の微分方程式)の展開F・・・H式

 

H式には積分定数がAとBの2つあるので、積分定数をDとしてまとめてしまいます。(つまり、B-A=Dとおく)

 

RC直列回路の回路方程式(電荷の微分方程式)の展開G

 

対数の定義より、この式を展開すると、

 

RC直列回路の回路方程式(電荷の微分方程式)の展開H・・・I式

 

あとは、I式の中の積分定数を求めます。積分定数を求めるためには回路の初期条件をI式に代入すれば求められ、この回路の場合、時間t=0のときはコンデンサCに蓄えられている電荷がゼロなので、初期条件はt=0、q(t)=0になります。(電荷の式で考えているので、初期条件も電流ではなく電荷で考えます。)

 

回路の初期条件の説明図(t=0、q(t)=0)

 

t=0、q(t)=0をI式に代入すると、

 

積分定数を求める式の展開・・・J式

 

J式の両辺の対数をとってD=・・・を求めてもいいのですが、I式をみるとeDをそのまま代入できるので、JをI式に代入します。すると、

 

RC直列回路の回路方程式(電荷の微分方程式)の展開I

 

RC直列回路のコンデンサCの電荷の一般解の式・・・K式

 

となり、RC直列回路のコンデンサCに蓄えられる電荷の一般解が求められました。

 

K式は電荷の一般解で、求めたいのは回路に流れる電流の一般解なので、次に、K式を使って電流の一般解を求めます。

 

電荷の式から電流の式を求めるためには、ここで何度か使っている電流と電荷の関係式を使います。

 

電流と電荷の関係式はi(t)=dq(t)/dtでしたので、K式の電荷q(t)を時間tで微分すれば電流i(t)
が求められます。なので、

 

i(t)=・・・となり、この式を解くと電流i(t)を求めることができます。

 

では、解いてみましょう。

 

CEは定数なので、微分の外に出してしまいます。

 

RC直列回路の回路方程式(電流の微分方程式)の展開@

 

RC直列回路の回路方程式(電流の微分方程式)の展開A

 

RC直列回路の回路方程式(電流の微分方程式)の展開B

 

RC直列回路の回路電流の一般解の式・・・L式

 

となり、RC直列回路に流れる電流の一般解が求められました。

 

RC直列回路に流れる電流のグラフ

RC直列回路に流れる電流の一般解が求められたので、次はグラフを書いてみます。

 

先ほど求めた電流の式(L式)より、RC直列回路の回路電流の式は次のようになります。

 

RC直列回路の回路電流の式(L式)

 

回路電流i(t)はt=0のときi(0)=E/Rとなり、t=∞のときi(∞)=0となるグラフになり、
次のようになります。
t=0とt=∞のときのi(t)の値の説明

 

RC直列回路に流れる電流i(t)のグラフ

 

このグラフをみると、回路に流れる電流はE/R[A]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達するという意味)と電流の大きさは0[A]になるのが分かります。

 

つまり、スイッチをONした直後はコンデンサCは短絡されたような状態で抵抗Rだけに制限された電流が流れ、回路に電流が流れたことでコンデンサCに電荷が徐々に蓄えられ、コンデンサCに電荷がたまりきる(フル充電)と回路には電流が流れなくなります(定常状態に達する)。(これ、大事!)

 

ちなみに、RC直列回路の時定数τは、τ=RC になります。

 

RC直列回路のコンデンサCに蓄えられる電荷のグラフ

ついでに、コンデンサCに蓄えられる電荷のグラフも書いてみます。

 

コンデンサCに蓄えられる電荷の式(一般解)はK式より、

 

RC直列回路のコンデンサCに蓄えられる電荷の式(一般解)・・・K

 

ちなみに、このK式の右辺の第1項を定常項、第2項を過渡項といいます。

 

RC直列回路のコンデンサCに蓄えられる電荷の式の定常項と過渡項の説明図

 

K式のグラフを書くために、K式を第1項と第2項に分けて考え、q1(t)、q2(t)
とします。(つまり、q(t)=q1(t)−q2(t))

 

まずq1(t)のグラフを書いてみます。q1(t)は定数なので次のようなグラフになります。

 

q1(t)のグラフ

 

次にq2(t)のグラフですが、q2(t)はt=0のときq2(0)=CEとなり、t=∞のときq2(∞)=0となるグラフになり、次のようになります。
t=0とt=∞のときのq2(t)の値の説明

 

q2(t)のグラフ

 

q1(t)、q2(t)の2つのグラフを1つの座標上に重ねて書くと次のようになります。

 

一つの座標上に書いたq1(t)とq2(t)のグラフ

 

したがって、K式のq(t)はq(t)=q1(t)−q2(t)であり、q1(t)からq2(t)を引いたものがq(t)になるので、q(t)のグラフは次のようになります。

 

RC直列回路のコンデンサCの電荷q(t)のグラフ

 

以上でRC直列回路のコンデンサCに蓄えられる電荷q(t)のグラフが書けましたが、q(t)のグラフをみるとRC直列回路の場合、コンデンサCに蓄えられる電荷はゼロから始まり、徐々に大きくなって、ある程度の時間が経過する(定常状態に達するという意味)とCEの大きさの電荷がたまったままになることが分かります。(つまり、電荷の大きさは変化しなくなるということです。)

 

ちなみに、電流と電荷の関係式より電流と電荷の関係はi(t)=dq(t)/dtなので、電荷q(t)の大きさが
変化しないということは電流が流れないということになります。(これ、大事!)

 

 


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RC直列回路の抵抗Rの電圧の一般解の求め方

RC直列回路に流れる電流は先ほどのL式で求められたので、そのL式を使うと抵抗Rの電圧eR(t)[V]は次のようになります。

 

eR(t)はここの電圧

 

RC直列回路の抵抗Rにかかる電圧の一般解の計算過程

 

RC直列回路の抵抗Rにかかる電圧の一般解の式・・・M式

 

電流を求めてしまえば抵抗Rの電圧の一般解は簡単に求められますね。

 

RC直列回路の抵抗Rの電圧のグラフ

グラフについては、電圧eR(t)はi(t)にRをかけただけなので、i(t)と同じような形のグラフで次のようになります。

 

RC直列回路の抵抗Rにかかる電圧のグラフ

 

このグラフをみると、抵抗Rにかかる電圧はE[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達するという意味)と電圧の大きさは0[V]になるのが分かります。

 

つまり、スイッチをONした直後は電源の電圧がすべて抵抗Rにかかりますが、定常状態に達すると抵抗Rには電圧がかからず、電源の電圧はすべてコンデンサCにかかることになります。(これ、大事!)

 

RC直列回路のコンデンサCの電圧の一般解の求め方

コンデンサCの電圧の一般解についても求めてみましょう。

 

ここでも先ほど求めた電流の式(L式)を使うと、コンデンサCの電圧eC(t)[V]は次のようになります。

 

eC(t)はここの電圧

 

RC直列回路のコンデンサCにかかる電圧の一般解の計算過程@

 

この式を解くとコンデンサCの電圧eC(t)を求めることができます。では、解いてみましょう。

 

E/Rは定数なので積分の外に出してしまいます。

 

RC直列回路のコンデンサCにかかる電圧の一般解の計算過程A

 

RC直列回路のコンデンサCにかかる電圧の一般解の計算過程B

 

N式には積分定数があるので、あとは積分定数を求めればいいです。

 

この回路の場合、時間t=0のときはコンデンサCには電荷がなく、つまりコンデンサCの電圧はゼロなので、初期条件はt=0、eC(t)=0になります。なので、t=0、eC(t)=0をN式に代入すると、

 

RC直列回路のコンデンサCにかかる電圧の一般解の計算過程C

 

積分定数が求められたので、OをN式に代入します。すると、

 

RC直列回路のコンデンサCにかかる電圧の一般解の計算過程D

 

RC直列回路のコンデンサCにかかる電圧の一般解の式・・・P式

 

以上でRC直列回路のコンデンサCの電圧の一般解が求められました。

 

参考|コンデンサCの電圧の一般解を求める別の計算方法

コンデンサCの電圧の一般解を求めるには、次のように計算してもいいです。

 

コンデンサCの電圧はeC(t)=1/C∫i(t)dtで与えられますが、電流と電荷の関係式よりi(t)=dq(t)/dt
なので、これを代入すると、

 

コンデンサCの電圧の一般解を求める別の計算方法の計算過程@
を代入してもいいです。代入してみると、

 

コンデンサCの電圧の一般解を求める別の計算方法の計算過程A

 

したがって、先ほど求めたP式と同じになります。

 

こっちの方が簡単かもね。

 

RC直列回路のコンデンサCの電圧のグラフ

コンデンサCの電圧eC(t)が求められたのでグラフも書いてみます。

 

グラフについては、電圧eC(t)は電荷q(t)に1/Cをかけただけなので、q(t)と同じような形のグラフで次のようになります。

 

RC直列回路のコンデンサCにかかる電圧のグラフ

 

このグラフをみると、コンデンサCの電圧は0[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達するという意味)と電圧の大きさはE[V]になるのが分かります。

 

コンデンサCの電圧eC(t)が最終的にE[V]になるということは、電源の電圧がすべてコンデンサCにかかるということになります。

 

RC直列回路の過渡現象のまとめ

以上をまとめると次のようになります。

RC直列回路

 

RC直列回路の回路図とグラフの概形

 

RC直列回路の過渡現象の解き方

@回路の回路方程式(積分方程式)をたてる
A電流と電荷の関係式を使って@の積分方程式を電荷に関する微分方程式にする
B初期条件から電荷の一般解を求める
C電流と電荷の関係式を使ってBで求めた電荷の一般解から電流の一般解を求める
D電圧の一般解はCで求めた電流の一般解を使って求める

 

RC直列回路の過渡現象の一般解の式

RC直列回路の電荷の一般解の式
RC直列回路の回路電流の一般解の式
RC直列回路の抵抗Rにかかる電圧の一般解の式
RC直列回路のコンデンサCにかかる電圧の一般解の式

 

RC直列回路の時定数

RC直列回路の時定数τ=RC

 

RC直列回路の過渡現象のグラフ

 

RC直列回路のコンデンサCに蓄えらえる電荷のグラフ

 

 

RC直列回路の回路電流のグラフ

 

 

RC直列回路の抵抗R、コンデンサCにかかる電圧のグラフ

 

 

 

過渡現象を解くためには微分方程式(または積分方程式)を解く必要があるため計算が大変になる場合もありますが、たいていの場合、決まった形の微分方程式を解くだけなので、初めは大変かもしれませんがパターンをおぼえて慣れれば大丈夫ですよ。

 

それから、電験二種の一次試験の理論では過渡現象の解き方などが出題されることがあり、RL直列回路とRC直列回路の過渡現象の解き方は過渡現象回路を解くための基本になるので、電験二種を受験する方は解き方をおぼえておくようにしましょう。

 

電験三種を受験する方は過渡現象の解き方までは分からなくてもいいと思いますが、RL直列回路とRC直列回路の過渡現象のグラフと時定数は必ずおぼえておくようにしましょう。

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