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RL直列回路の過渡現象の解き方

RL直列回路に流れる電流の一般解の求め方

次の図のように直流電源E[V]に抵抗R[Ω]とコイルL[H]が直列に接続されたRL直列回路において、この回路に流れる電流の一般解を求めてみます。

 

RL直列回路の回路図

 

ここで、一般解を求めるとは、定常状態の領域を表わす定常解と過渡状態の領域を表わす過渡解を合わせたもの(式)を求めることで、「一般解を求める=回路の過渡現象を解く」とほぼ同じ意味と思っておけばいいでしょう。

 

それから、回路の過渡現象を解く基本的な手順(流れ)は次のようになります。

回路の過渡現象を解く基本的な手順

@対象の回路の回路方程式(微分や積分が含まれる)をたてる
A初期条件を考慮して@の微分方程式(または積分方程式)を解く

ざっくり言ってしまえばこれだけですが、上に記載した解く手順Aの「微分方程式(または積分方程式)を解く」ことが回路によっては大変になったりします。

 

それでは、RL直列回路(LR直列回路)に流れる電流の一般解を求めてみます。

 

まず初めに回路の回路方程式をたてます。

 

この回路に流れる電流をi(t)[A]とすると、

 

RL直列回路と流れる電流

 

キルヒホッフの第二法則(電圧則)を適用すれば回路方程式は次の@式(微分方程式)で与えられます。

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)

 

RL直列回路の電圧降下

 

回路方程式がたてられたので、あとは@式の微分方程式を解くだけです。

 

微分方程式はその方程式の形で色々な解き方があったり、ラプラス変換を使って解いたりすることができますが、ここでは微分方程式の解法の一つである変数分離法を使って解くことにします。
(この形の微分方程式を解くときは、変数分離法が一番簡単(楽)だと思います。)

 

変数分離法は名前の通り、変数を左辺と右辺に分離して解いていく方法で、@式をみると、電源電圧E、抵抗R、コイルのインダクタンスLは定数なので、ここでの変数は電流i(t)と時間tになります。

 

なので、電流i(t)(変数)に関するものは左辺に、時間tに関するものは右辺になるように@式を変形します。

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)の展開@

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)の展開A

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)の展開B

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)の展開C

 

計算をしやすくするため、もうちょっと変形しておきます。

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)の展開D

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)の展開E

 

これで左辺は電流i(t)(変数)に関するもの、右辺は時間t(変数)に関するものとなり、2つの変数を左辺と右辺に分離することができました。(定数は変数ではないので、左辺にあっても右辺にあってもいいです。)

 

変数と定数の別・・・A式

 

変数を分離できたので、あとは両辺を積分して計算を続けていきます。

 

A式の両辺を積分(両辺に積分記号を付けるだけ)すると、

 

両辺を積分した式・・・B式

 

では、B式の左辺から計算してみましょう。

 

B式の左辺は∫1/x dxの形の積分なので、積分の公式より、

 

B式の左辺の展開@

 

C式に絶対値が付いているので、これを外しましょう。

 

絶対値の中はi(t)-E/Rですが、i(t)は回路に流れる電流で、E/RはコイルLが短絡された状態

 

(つまり、定常状態)での電流なので、i(t)≦E/Rとなり、絶対値の中は常にゼロ以下になります。

 

なので、絶対値の中i(t)-E/Rにマイナスをかけると絶対値を外すことができます。つまり、

 

B式の左辺の展開A・・・D式

 

B式の左辺の展開B・・・E式

 

これでB式の左辺は計算できたので、次はB式の右辺について考えます。

 

R/Lは定数なので、そのまま積分の外に出します。すると、

 

B式の右辺の展開@・・・F式

 

以上でB式の左辺と右辺が計算できたので、E、F式をB式に戻すと次のG式になります。

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)の展開F・・・G式

 

G式には積分定数がAとBの2つあるので、積分定数をDとしてまとめてしまいます。(つまり、B-A=Dとおく)

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)の展開G

 

対数の定義より、この式を展開すると、

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)の展開H・・・H式

 

あとは、H式の中の積分定数を求めます。積分定数を求めるためには回路の初期条件をH式に代入すれば求められ、この回路の場合、時間t=0のときは回路に流れる電流がゼロなので、初期条件はt=0、i(t)=0になります。

 

回路の初期条件の説明図(t=0、i=0)

 

t=0、i(t)=0をH式に代入すると、

 

積分定数を求める式の展開・・・I式

 

I式の両辺の対数をとってD=・・・を求めてもいいのですが、H式をみるとeDをそのまま代入できるので、IをH式に代入します。すると、

 

RL直列回路の回路方程式(微分方程式)の展開I

 

RL直列回路の回路電流の一般解の式・・・J式

 

となり、RL直列回路に流れる電流の一般解が求められました。

 

RL直列回路に流れる電流のグラフ

RL直列回路に流れる電流の一般解が求められたので、次はグラフを書いてみます。

 

先ほど求めた電流の式(J式)より、RL直列回路の回路電流の式は次のようになります。

 

RL直列回路の回路電流の式(J式)

 

ちなみに、このJ式の右辺の第1項を定常項、第2項を過渡項といいます。

 

定常項と過渡項の説明図

 

J式のグラフを書くために、J式を第1項と第2項に分けて考え、i1(t)、i2(t)

 

とします。(つまり、i(t)=i1(t)−i2(t))

 

まずi1(t)のグラフを書いてみます。i1(t)は定数なので次のようなグラフになります。

 

i1(t)のグラフ

 

次にi2(t)のグラフですが、i2(t)はt=0のときi2(0)=E/Rとなり、t=∞のときi2(∞)=0となるグラフ
になり、次のようになります。
t=0とt=∞のときのi2(t)の値

 

i2(t)のグラフ

 

i1(t)、i2(t)の2つのグラフを1つの座標上に重ねて書くと次のようになります。

 

一つの座標上に書いたi1(t)とi2(t)のグラフ

 

したがって、J式のi(t)はi(t)=i1(t)−i2(t)であり、i1(t)からi2(t)を引いたものがi(t)になるので、i(t)のグラフは次のようになります。

 

RL直列回路に流れる電流i(t)のグラフ

 

以上でRL直列回路に流れる電流i(t)のグラフが書けましたが、i(t)のグラフを見るとRL直列回路の場合、回路に流れる電流はゼロから始まり、徐々に大きくなって、ある程度の時間が経過する(定常状態に達するという意味)とE/Rの大きさの電流が流れ続けることが分かります。

 

つまり、定常状態に達するとコイルLは短絡されているのと同じということになります。(これ、大事!)

 

RL直列回路に流れる電流の説明図

 

ちなにみ、RL直列回路の時定数τは、τ=L/Rになります。

 

 


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RL直列回路の抵抗Rの電圧の一般解の求め方

RL直列回路に流れる電流は先ほどのJ式で求められたので、そのJ式を使うと抵抗Rにかかる電圧eR(t)[V]は次のようになります。

 

eR(t)はここの電圧

 

RL直列回路の抵抗Rにかかる電圧の一般解の計算過程

 

RL直列回路の抵抗Rにかかる電圧の一般解の式・・・K式

 

電流を求めてしまえば抵抗Rの電圧の一般解は簡単に求められますね。

 

RL直列回路の抵抗Rの電圧のグラフ

グラフについては、電圧eR(t)はi(t)にRをかけただけなので、i(t)と同じような形のグラフで次のようになります。

 

RL直列回路の抵抗Rにかかる電圧のグラフ

 

このグラフをみると、抵抗Rの電圧は0[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達するという意味)と電圧の大きさはE[V]になるのが分かります。

 

抵抗Rの電圧eR(t)が最終的にE[V]になるということは、電源の電圧がすべて抵抗Rにかかることになるということです。

 

つまり、定常状態に達するとコイルLが無いのと同じ(コイルが短絡された状態と同じ)ということになります。(これ、大事!)

 

RL直列回路のコイルLの電圧の一般解の求め方

コイルLの電圧の一般解についても求めてみましょう。

 

ここでも先ほど求めた電流の式(J式)を使うと、コイルLの電圧eL(t)[V]は次のようになります。

 

eL(t)はここの電圧

 

RL直列回路のコイルLにかかる電圧の一般解の計算過程@

 

この式を解くとコイルLの電圧eL(t)を求めることができます。では、解いてみましょう。

 

E/Rは定数なので微分の外に出してしまいます。

 

RL直列回路のコイルLにかかる電圧の一般解の計算過程A

 

RL直列回路のコイルLにかかる電圧の一般解の計算過程B

 

RL直列回路のコイルLにかかる電圧の一般解の計算過程C

 

RL直列回路のコイルLにかかる電圧の一般解の式・・・L式

 

以上でRL直列回路のコイルLの電圧の一般解が求められました。

 

RL直列回路のコイルLの電圧のグラフ

コイルLの電圧eL(t)が求められたのでグラフも書いてみます。

 

コイルLの電圧eL(t)はt=0のときeL(0)=Eとなり、t=∞のときeL(∞)=0となるグラフになり、次のようになります。
t=0とt=∞のときのeL(t)の値の説明

 

RL直列回路のコイルLにかかる電圧のグラフ

 

このグラフをみると、コイルLの電圧はE[V]から始まり、ある程度時間が経過する(定常状態に達するという意味)と電圧の大きさは0[V]になるのが分かります。

 

つまり、スイッチをONした直後は電源の電圧がすべてコイルLにかかりますが、定常状態に達するとコイルLには電圧がかからず、電源の電圧はすべて抵抗Rにかかるということになります。(これ、大事!)

 

RL直列回路の過渡現象のまとめ

以上をまとめると次のようになります。

RL直列回路

 

RL直列回路の回路図

 

RL直列回路の過渡現象の解き方

@回路の回路方程式(微分方程式)をたてる
A初期条件を使って@の微分方程式を解いて電流の一般解を求める
B電圧の一般解はAで求めた電流の一般解を使って求める

 

RL直列回路の過渡現象の一般解の式

RL直列回路の回路電流の一般解の式
RL直列回路の抵抗Rにかかる電圧の一般解の式
RL直列回路のコイルLにかかる電圧の一般解の式

 

RL直列回路の時定数

RL直列回路の時定数τ=L/R

 

RL直列回路の過渡現象のグラフ

 

RL直列回路の回路電流のグラフ

 

 

RL直列回路の抵抗R、コイルLにかかる電圧のグラフ

 

 

 

過渡現象を解くためには微分方程式(または積分方程式)を解く必要があるため計算が大変になる場合もありますが、たいていの場合、決まった形の微分方程式を解くだけなので、初めは大変かもしれませんがパターンをおぼえて慣れれば大丈夫ですよ。

 

それから、電験二種の一次試験の理論では過渡現象の解き方などが出題されることがあり、RL直列回路とRC直列回路の過渡現象の解き方は過渡現象回路を解くための基本になるので、電験二種を受験する方は解き方をおぼえておくようにしましょう。

 

電験三種を受験する方は過渡現象の解き方までは分からなくてもいいと思いますが、RL直列回路とRC直列回路の過渡現象のグラフと時定数は必ずおぼえておくようにしましょう。

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