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最大の定理

2つの正の数 $a$、$b$ の和( $a+b$ )が一定ならば、それら2つの数の積 $ab$ は、$a=b$ のときに最大になります。これを、最大の定理といいます。

 

最大の定理

 

最大の定理の証明

最大の定理は、次のように証明できます。

 

まず、$a$、$b$ を正の数とし、$a$ と $b$ との和 $a+b$ は、$a+b=k$ 一定(定数)になるものとします。

 

このとき、2つの正の数 $a$、$b$ の積 $ab$ は、

 

$ab=a\times\left( k-a\right)$ ($b=k-a$ を代入した( $\because a+b=k$ )

 

$=ak-a^2$

 

$=-\left( a^2-ka\right)$

 

$=-\left( a-\dfrac{k}{2}\right)^2+\dfrac{k^2}{4}$ …① ($\because -\left( a-\dfrac{k}{2}\right)^2 =-a^2+ka-\dfrac{k^2}{4}$

 

と表わせます。この①式は上に凸の2次関数で、$a=\dfrac{k}{2}$ のときに最大になります。

 

このときの $b$ の値を求めてみると、$b$ の値は $b=k-a$ より、

 

$b=k-a$

 

$=k-\dfrac{k}{2}$ ($a=\dfrac{k}{2}$ を代入した

 

$=\dfrac{k}{2}$

 

となるので、$a=\dfrac{k}{2}$ のとき $b$ は $a$ と等しい値 $b=\dfrac{k}{2}$ になります。

 

したがって、①式(つまり、$ab$ )は、$a=b$ のときに最大になることになります。(証明終わり)

 

最大の定理のまとめ
  • 2つの正の数 $a$、$b$ の和が一定ならば、それら2つの数の積 $ab$ は、$a=b$ のとき最大になる。これを、最大の定理という

 

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最大の定理は最大値を求めるときに使える定理ですが、最小値を求めるときに使える最小の定理もあります。最小の定理については、こちらの最小の定理のページを参考にしてみてください。



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