三角関数の公式・定理

三角関数の公式・定理についてまとめてみました。

 

三角関数は電気の計算でもよく使われる関数で電気数学の基本になりますので、公式と定理はおぼえておくようにしましょう。

 

sin、cos、tanの基本公式

 

三角形の辺と角度のとり方

 

$\sin\theta =\dfrac{b}{c}$

 

$\cos\theta =\dfrac{a}{c}$

 

$\tan\theta =\dfrac{b}{a}$

 

$\tan\theta =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$

 

 

$\sin\left(\theta +2\pi n\right) =\sin\theta$ ($n$ は整数)

 

$\cos\left(\theta +2\pi n\right) =\cos\theta$ ($n$ は整数)

 

$\tan\left(\theta +\pi n\right) =\tan\theta$ ($n$ は整数)

 

 

$\sin\left( -\theta\right) =-\sin\theta$

 

$\cos\left( -\theta\right) =\cos\theta$

 

$\tan\left( -\theta\right) =-\tan\theta$

 

 

$\sin\left(\theta +\dfrac{\pi}{2}\right) =\cos\theta$

 

$\cos\left(\theta +\dfrac{\pi}{2}\right) =-\sin\theta$

 

$\tan\left(\theta +\dfrac{\pi}{2}\right) =-\dfrac{1}{\tan\theta}$

 

 

$\sin\left(\theta +\pi\right) =-\sin\theta$

 

$\cos\left(\theta +\pi\right) =-\cos\theta$

 

$\tan\left(\theta +\pi\right) =\tan\theta$

 

 

$\sin\left(\theta -\dfrac{\pi}{2}\right) =-\cos\theta$

 

$\cos\left(\theta -\dfrac{\pi}{2}\right) =\sin\theta$

 

$\tan\left(\theta -\dfrac{\pi}{2}\right) =-\dfrac{1}{\tan\theta}$

 

 

$\sin\left(\theta -\pi\right) =-\sin\theta$

 

$\cos\left(\theta -\pi\right) =-\cos\theta$

 

$\tan\left(\theta -\pi\right) =\tan\theta$

 

 

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} -\theta\right) =\cos\theta$

 

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} -\theta\right) =\sin\theta$

 

$\tan\left(\dfrac{\pi}{2} -\theta\right) =\cot\theta =\dfrac{1}{\tan\theta}$

 

 

$\sin\left(\pi -\theta\right) =\sin\theta$

 

$\cos\left(\pi -\theta\right) =-\cos\theta$

 

$\tan\left( \pi -\theta\right) =-\tan\theta$

 

 

$\sin^2\theta +\cos^2\theta =1$

 

$\tan^2\theta +1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$

 

cosec、sec、cotの公式

 

三角形の辺と角度のとり方

 

$\mathrm{cosec}\,\theta =\dfrac{1}{\sin\theta} =\dfrac{c}{b}$

 

$\sec\theta =\dfrac{1}{\cos\theta} =\dfrac{c}{a}$

 

$\cot\theta =\dfrac{1}{\tan\theta} =\dfrac{a}{b}$

 

正弦定理

 

正弦定理の三角形の辺と角度のとり方と外接円の半径

 

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

 

余弦定理

 

余弦定理の三角形の辺と角度のとり方

 

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

 

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

 

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

 

 


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加法定理

$\sin\left(\alpha\pm\beta\right)$ $=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ (複合同順)

 

$\cos\left(\alpha\pm\beta\right)$ $=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ (複合同順)

 

$\tan\left(\alpha\pm\beta\right) =\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$ (複合同順)

 

倍角の公式

$\sin 2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha$

 

$\cos 2\alpha =\cos^2\alpha -\sin^2\alpha$

 

$\cos 2\alpha =2\cos^2\alpha -1$

 

$\cos 2\alpha =1-2\sin^2\alpha$  $\left(\sin^2\alpha =\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}\right)$

 

$\tan 2\alpha =\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

 

半角の公式

$\sin^2\dfrac{\alpha}{2} =\dfrac{1-\cos\alpha}{2}$

 

$\cos^2\dfrac{\alpha}{2} =\dfrac{1+\cos\alpha}{2}$

 

$\tan^2\dfrac{\alpha}{2} =\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$

 

積和の公式(積を和(または差)に変換)

$\sin\alpha\cos\beta$ $=\dfrac{\sin\left(\alpha +\beta\right) +\sin\left(\alpha -\beta\right)}{2}$

 

$\cos\alpha\sin\beta$ $=\dfrac{\sin\left(\alpha +\beta\right) -\sin\left(\alpha -\beta\right)}{2}$

 

$\sin\alpha\sin\beta$ $=\dfrac{\cos\left(\alpha -\beta\right) -\cos\left(\alpha +\beta\right)}{2}$

 

$\cos\alpha\cos\beta$ $=\dfrac{\cos\left(\alpha +\beta\right) +\cos\left(\alpha -\beta\right)}{2}$

 

和積の公式(和(または差)を積に変換)

$\sin A+\sin B$ $=2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$

 

$\sin A-\sin B$ $=2\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$

 

$\cos A+\cos B$ $=2\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$

 

$\cos A-\cos B$ $=-2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$

 

三角関数の合成の公式

$A\sin\theta +B\cos\theta$ $=\sqrt{A^2+B^2}\sin\left(\theta +\phi\right)$

 

$A\cos\theta -B\sin\theta$ $=\sqrt{A^2+B^2}\cos\left(\theta +\phi\right)$

 

ただし、$\phi =\tan^{-1}\dfrac{B}{A}$

 

ヘロンの公式(三辺から三角形の面積を求める公式)

 

三角形の辺のとり方(ヘロンの公式)

 

$S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

 

ただし、$s=\dfrac{a+b+c}{2}$

 

 


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