微分の公式

微分の公式をまとめてみました。

 

微分の公式をあれもこれもと並べると数多くあり、すべての公式をおぼえるのは大変ですので、このページでは電気数学で「よく使う微分の公式」、「ほとんど使わない微分の公式」に分けてみました。

 

(※個人的な公式の使用頻度で分けていますので、人によっては「それは使わないなぁ〜」とか、「これはよく使う」とかあると思いますが、それはそれで・・・。)

 

「ほとんど使わない微分の公式」はおぼえる必要はなく(暗記しなくてもいいんじゃない、という意味)、必要なときに調べて使えばいいと思いますが、「よく使う微分の公式」はおぼえておくようにしましょう。

 

ちなみに、このページに書いてある式の意味は、( )括弧の中の式を微分すると右辺の式になります、という意味です。

 

微分の式の意味の説明

 

よく使う微分の公式

$\left( a\right)^\prime =0$ ($a$ は定数) ※定数の微分はゼロ

 

$\left( x\right)^\prime =1$ ※$x$ の微分は「$1$」

 

$\left( a\, x\right)^\prime =a$ ($a$ は定数) ※定数だけ残る

 

$\left( x^n\right)^\prime =n\, x^{n-1}$ ※基本中の基本!

 

$\left(\dfrac{1}{x}\right)^\prime =-\dfrac{1}{x^2}$ ※$x^n$ の微分から導けます

 

$\left(\sqrt{x}\right)^\prime =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ※$x^n$ の微分から導けます

 

$\left(\log_e |x|\right)^\prime =\dfrac{1}{x}$

 

$\left( a^x\right)^\prime =a^x\log_e a$  $\left( a\gt 0\ ,\ a\neq 1\right)$

 

$\left( e^x\right)^\prime =e^x$ ※$e^x$ は微分しても $e^x$

 

$\left( e^{ax}\right)^\prime =a\, e^{ax}$ ($a$ は定数)

 

$\left(\sin x\right)^\prime =\cos x$ ※基本中の基本!

 

$\left(\cos x\right)^\prime =-\sin x$ ※基本中の基本!

 

$\left(\sin ax\right)^\prime =a\cos ax$ ($a$ は定数)

 

$\left(\cos ax\right)^\prime =-a\sin ax$ ($a$ は定数)

 

 


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ほとんど使わない微分の公式

$\left( x^x\right)^\prime =x^x\left(\log_e x+1\right)$

 

$\left(\tan x\right)^\prime =\sec^2 x$

 

$\left(\tan ax\right)^\prime =a\sec^2 ax$ ($a$ は定数)

 

$\left(\mathrm{cosec}\, x\right)^\prime =-\mathrm{cosec}\, x\,\cot x$

 

$\left(\sec x\right)^\prime =\sec x\,\tan x$

 

$\left(\cot x\right)^\prime =-\mathrm{cosec}^2x$

 

$\left(\cot ax\right)^\prime =-a\,\mathrm{cosec}^2 ax$ ($a$ は定数)

 

$\left(\sin^{-1} x\right)^\prime =\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$  $\left( -\dfrac{\pi}{2}\lt y\lt\dfrac{\pi}{2}\right)$

 

$\left(\cos^{-1} x\right)^\prime =-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$  $\left( 0\lt y\lt\pi\right)$

 

$\left(\tan^{-1} x\right)^\prime =\dfrac{1}{1+x^2}$  $\left( -\dfrac{\pi}{2}\lt y\lt\dfrac{\pi}{2}\right)$

 

$\left(\mathrm{cosec}^{-1} x\right)^\prime =\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$  $\left( -\dfrac{\pi}{2}\lt y\lt\dfrac{\pi}{2} \ ,\ x^2\gt 1\right)$

 

$\left(\sec^{-1} x\right)^\prime =\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$  $\left( 0\lt y\lt\pi \ ,\ x^2\gt 1\right)$

 

$\left(\cot^{-1} x\right)^\prime =-\dfrac{1}{1+x^2}$  $\left( -\dfrac{\pi}{2}\lt y\lt\dfrac{\pi}{2}\right)$

 

$\left(\sinh x\right)^\prime =\cosh x$

 

$\left(\cosh x\right)^\prime =\sinh x$

 

$\left(\tanh x\right)^\prime =\mathrm{sech}^2 x$

 

$\left(\mathrm{cosech}\, x\right)^\prime =-\mathrm{cosech}\, x\, \coth x$

 

$\left(\mathrm{sech}\, x\right)^\prime =-\mathrm{sech}\, x\, \tanh x$

 

$\left(\coth x\right)^\prime =-\mathrm{cosech}^2 x$

 

$\left(\sinh^{-1} x\right)^\prime =\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

 

$\left(\cosh^{-1} x\right)^\prime =\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$  $\left( y\gt 0 \ ,\ x^2\gt 1\right)$

 

$\left(\tanh^{-1} x\right)^\prime =\dfrac{1}{1-x^2}$  $\left( x^2\lt 1\right)$

 

$\left(\mathrm{cosech}^{-1} x\right)^\prime =-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2+1}}$

 

$\left(\mathrm{sech}^{-1} x\right)^\prime =-\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$  $\left(0\lt x\lt1\right)$

 

$\left(\coth^{-1} x\right)^\prime =\dfrac{1}{1-x^2}$  $\left( x^2\gt 1\right)$

 

 


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