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三角関数のsin(サイン)、cos(コサイン)、tan(タンジェント)って何?

数学に三角関数ってありますよね?

 

高校の数学で習ったと思うんですが、中学校でしたっけ? 高校ですよね? ま、いっか。

 

三角関数ってあれですよ、$\sin$(サイン)、$\cos$(コサイン)、$\tan$(タンジェント)とかで、$\sin$、$\cos$、$\tan$ が入っている式を見ただけで、「うわ〜、苦手〜。」って思ってしまう方も多かったりするんですが、三角関数、特にその基本になる $\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$ の基本的なところはそれほど難しくなく、使ってみると「そんなもんか…」と意外に簡単だったりします。(「$\theta$」ってシータです。)

 

「まずは何事も基本から」ということで、このページでは三角関数 $\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$ の基本について解説します。

 

三角関数のsin(サイン)

三角関数の $\sin$、$\cos$、$\tan$ を考えるときは、必ず、直角三角形で考えます。

 

直角三角形 ですよ! 直角!

 

なので、次のような三角形で考えてはダメです。

 

直角三角形ではない三角形

 

直角三角形は次のように一つの角が直角になっている三角形ですね。

 

直角三角形の図

 

では、この直角三角形に辺の長さ($a$、$b$、$c$)と角度($\theta$)を書き入れてみます。

 

直角三角形

 

ここで、この場合の角度 $\theta$ は、図の三角形の左側としていることに注意しましょう。三角形の上側を角度 $\theta$ とすると、この後の話も変わってきますので…。てか、$\theta$ をどこにするかで $\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$ が変わります。

 

それで上の図のように辺の長さを $a$、$b$、$c$、角度を $\theta$ とすると、直角三角形の $\sin \theta$ は、

 

$\sin \theta = \dfrac{b}{c}$ …@ となります。

 

つまり、直角三角形が上の図のようなときに、辺の長さ $b$ を $c$ で割った $\left( \dfrac{b}{c} \right)$ のが $\sin \theta$ の値ですよ、ということですね。

 

sinθの説明図

 

それから、$\sin \theta$ が使われるパターン(計算)で多いのは、こんなのですね。

 

次のように直角三角形の辺 $c$ の長さと角度 $\theta$ だけ が分かっているとします。このとき、辺 $b$ の長さはいくら?

 

sinθの使い方の説明図

 

これは、先ほどの@式から簡単に分かります。

 

@式は、$\sin \theta = \dfrac{b}{c}$ でした。

 

これを変形すると、$b = c \times \sin \theta$ となり、辺の長さ $c$ と角度 $\theta$ が分かれば辺の長さ $b$ を求めることができます。これはよく使われるのでおぼえておくようにしましょう。($\sin \theta$ の値は角度($\theta$)によって値が決まります。)

 

次は $\cos$(コサイン)です。

 

三角関数のcos(コサイン)

$\cos$ も $\sin$ と同じように直角三角形で考えるので、先ほどと同じ直角三角形を書きます。

 

直角三角形

 

この直角三角形の $\cos \theta$ は、

 

$\cos \theta = \dfrac{a}{c}$ …A となります。

 

つまり、直角三角形が上の図のようなときに、辺の長さ $a$ を $c$ で割った $\left( \dfrac{a}{c} \right)$ のが $\cos \theta$ の値ですよ、ということですね。

 

cosθの説明図

 

それから、$\cos \theta$ が使われるパターン(計算)で多いのは、$\sin \theta$ と同じようにこんなのですね。

 

次のように直角三角形の辺 $c$ の長さと角度 $\theta$ だけが分かっているとします。このとき、辺 $a$ の長さはいくら?

 

cosθの使い方の説明図

 

これは、先ほどのA式から簡単に分かります。

 

A式は、$\cos \theta = \dfrac{a}{c}$ でした。

 

これを変形すると、$a = c \times \cos \theta$ となり、辺の長さ $c$ と角度 $\theta$ が分かれば辺の長さ $a$ を求めることができます。($\cos \theta$ の値は角度($\theta$)によって値が決まります。)

 

これもよく使われ、例えばベクトルの成分の大きさ(ベクトルを分解したときの大きさ)を求めるときなどに使われます。

 

cosθの使用例

 

こんな感じのですね。

 

ちなみに、$y$ 成分は $\sin \theta$ を使って、$| \overrightarrow{F_y} | = | \overrightarrow{F} | \sin \theta$ ですよ。

 

最後は $\tan$ (タンジェント)です。

 

三角関数のtan(タンジェント)

またまた同じ直角三角形で考えます。

 

同じ直角三角形

 

この直角三角形の $\tan \theta$ は、

 

$\tan \theta = \dfrac{b}{a}$ …B となります。

 

つまり、直角三角形が上の図のようなときに、辺の長さ $b$ を $a$ で割った $\left( \dfrac{b}{a} \right)$ のが $\tan \theta$ の値ですよ、ということですね。

 

tanθの説明図

 

$\tan \theta$ が使われるパターン(計算)で多いのは、これまたこんなのですね。

 

次のように直角三角形の辺 $a$ の長さと角度 $\theta$ だけが分かっているとします。このとき、辺 $b$ の長さはいくら?

 

tanθの使い方の説明図

 

これまた先ほどのB式から簡単に分かります。

 

B式は、$\tan \theta = \dfrac{b}{a}$ でした。

 

これを変形すると、$b = a \times \tan \theta$ となり、辺の長さ $a$ と角度 $\theta$ が分かれば辺の長さ $b$ を求めることができます。($\tan \theta$ の値は角度($\theta$)によって値が決まります。)

 

以上が $\sin$、$\cos$、$\tan$ の基本になりますが、どの辺の長さをどの辺の長さで割れば何($\sin$、$\cos$、$\tan$)なのか? おぼえておくようにしましょう。

 

あ、それから、三平方の定理ってありますよね? ピタゴラスの定理とも呼ばれる定理で、直角三角形の斜辺の長さを求めるときなどに使う定理で、こんなの。

 

三平方の定理(ピタゴラスの定理)

 

この三平方の定理を使うと、$\sin \theta$、$\cos \theta$ は次のようにも表わすことができます。

 

$\sin \theta = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ 、 $\cos \theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

 

この2つも一緒におぼえておきましょう!

 

 


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三角関数sinθ、cosθ、tanθの公式のおぼえ方

ついでなので、三角関数 $\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$ の公式のおぼえ方を紹介します。

 

と言っても特別変わったおぼえ方ではないので、たぶん、みなさんこのおぼえ方で学校で習うのではないでしょうか?

 

まずは $\sin \theta$ の公式のおぼえ方です。

 

sinθの公式のおぼえ方

$\sin \theta$ はアルファベットの「$\mathrm{s}$」で始まりますが、この「$\mathrm{s}$」を筆記体の小文字で書くと、

 

筆記体で書いた小文字の「s」

 

ですよね。なので、次のようにおぼえます。

 

三角関数sinθの公式のおぼえ方

 

アルファベットの筆記体の小文字の「$\mathrm{s}$」と直角三角形を対応させているんですね。$\sin \theta$ の公式はアルファベットの筆記体の小文字の「$\mathrm{s}$」とおぼえましょう。

 

次は $\cos \theta$ の公式のおぼえ方です。

 

cosθの公式のおぼえ方

$\cos \theta$ はアルファベットの「$\mathrm{c}$」で始まりますが、この「$\mathrm{c}$」と直角三角形を対応させておぼえます。

 

三角関数cosθの公式のおぼえ方

 

$\cos \theta$ の公式はアルファベットの「$\mathrm{c}$」とおぼえましょう。

 

最後は $\tan \theta$ の公式のおぼえ方です。

 

tanθの公式のおぼえ方

$\tan \theta$ はアルファベットの「$\mathrm{t}$」で始まりますが、この「$\mathrm{t}$」を筆記体の小文字で書くと、

 

筆記体で書いた小文字の「t」

 

ですよね。なので、次のようにおぼえます。

 

三角関数tanθの公式のおぼえ方

 

アルファベットの筆記体の小文字の「$\mathrm{t}$」と直角三角形を対応させているんですね。$\tan \theta$ の公式はアルファベットの筆記体の小文字の「$\mathrm{t}$」とおぼえましょう。

 

三角関数sin、cos、tanのまとめ

 

直角三角形

 

$\sin \theta = \dfrac{b}{c}$ または $\sin \theta = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

 

$\cos \theta = \dfrac{a}{c}$ または $\cos \theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

 

$\tan \theta = \dfrac{b}{a}$

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