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三角関数の公式・定理

三角関数の公式・定理についてまとめてみました。

 

三角関数は電気の計算でもよく使われる関数で電気数学の基本になりますので、公式と定理はおぼえておくようにしましょう。

 

sin、cos、tanの基本公式

 

三角形の辺と角度のとり方

 

$\sin \theta = \dfrac{b}{c}$

 

$\cos \theta = \dfrac{a}{c}$

 

$\tan \theta = \dfrac{b}{a}$

 

 

$\sin ( \theta + 2 \pi n ) = \sin \theta$ ($n$ は整数)

 

$\cos ( \theta + 2 \pi n ) = \cos \theta$ ($n$ は整数)

 

$\tan ( \theta + \pi n ) = \tan \theta$ ($n$ は整数)

 

 

$\sin ( - \theta ) = - \sin \theta$

 

$\cos ( - \theta ) = \cos \theta$

 

$\tan ( - \theta ) = - \tan \theta$

 

 

$\sin ( \pi - \theta ) = \sin \theta$

 

$\cos ( \pi - \theta ) = - \cos \theta$

 

$\tan ( \pi - \theta ) = - \tan \theta$

 

 

$\sin \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta$

 

$\cos \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$

 

$\tan \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cot \theta = \dfrac{1}{\tan \theta}$

 

 

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

 

cosec、sec、cotの公式

 

三角形の辺と角度のとり方

 

$\mathrm{cosec} \, \theta = \dfrac{1}{\sin \theta} = \dfrac{c}{b}$

 

$\sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta} = \dfrac{c}{a}$

 

$\cot \theta = \dfrac{1}{\tan \theta} = \dfrac{a}{b}$

 

正弦定理

 

正弦定理の三角形の辺と角度のとり方と外接円の半径

 

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

 

余弦定理

 

余弦定理の三角形の辺と角度のとり方

 

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

 

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

 

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

 

 


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加法定理

$\sin ( \alpha \pm \beta )$ $= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ (複合同順)

 

$\cos ( \alpha \pm \beta )$ $= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ (複合同順)

 

$\tan ( \alpha \pm \beta ) = \dfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$ (複合同順)

 

倍角の公式

$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

 

$\cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

 

$\tan 2 \alpha = \dfrac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

 

半角の公式

$\sin^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos \alpha}{2}$

 

$\cos^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \cos \alpha}{2}$

 

$\tan^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$

 

積和の公式(積を和(または差)に変換)

$\sin \alpha \cos \beta$ $= \dfrac{\sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta )}{2}$

 

$\cos \alpha \sin \beta$ $= \dfrac{\sin ( \alpha + \beta ) - \sin ( \alpha - \beta )}{2}$

 

$\sin \alpha \sin \beta$ $= \dfrac{\cos ( \alpha - \beta ) - \cos ( \alpha + \beta )}{2}$

 

$\cos \alpha \cos \beta$ $= \dfrac{\cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta )}{2}$

 

和積の公式(和(または差)を積に変換)

$\sin A + \sin B$ $= 2 \sin \left( \dfrac{A + B}{2} \right) \cos \left( \dfrac{A - B}{2} \right)$

 

$\sin A - \sin B$ $= 2 \cos \left( \dfrac{A + B}{2} \right) \sin \left( \dfrac{A - B}{2} \right)$

 

$\cos A + \cos B$ $= 2 \cos \left( \dfrac{A + B}{2} \right) \cos \left( \dfrac{A - B}{2} \right)$

 

$\cos A - \cos B$ $= -2 \sin \left( \dfrac{A + B}{2} \right) \sin \left( \dfrac{A - B}{2} \right)$

 

三角関数の合成の公式

$A \sin \theta + B \cos \theta$ $= \sqrt{A^2 + B^2} \sin ( \theta + \phi )$

 

$A \cos \theta - B \sin \theta$ $= \sqrt{A^2 + B^2} \cos ( \theta + \phi )$

 

ただし、$\phi = \tan^{-1} \dfrac{B}{A}$

 

ヘロンの公式(三辺から三角形の面積を求める公式)

 

三角形の辺のとり方(ヘロンの公式)

 

$S = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}$

 

ただし、$s = \dfrac{a+b+c}{2}$

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