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ビオ・サバールの法則とは?

ビオ・サバールの法則は電気磁気学の法則で、

 

「電線に流れる電流によって作られる磁界の大きさ(強さ)を求めるときなどに使われる法則」

 

です。

 

例えば、次の図のように直線状の電線や円形状の電線に電流が流れているとしますよね?

 

直線状の電線や円形状の電線に流れる電流

 

このときに、ある点に作られる磁界の大きさはいくら?

 

というときにビオ・サバールの法則を使うと、ある点に作られる磁界の大きさを求めることができます。

 

点Pに作られる磁界の大きさはいくら?

 

それでビオ・サバールの法則ですが、例えば次の図のようなフニャっとした電線に電流Iが流れていて、電線の微小部分をdl、dlの方向(電線の接線方向)とdlから点Pを見たときの方向とのなす角をθ、dlと点Pとの距離をrとすると、微小部分dlにより点Pに作られる磁界の大きさは、

 

ビオ・サバールの法則の説明図@

 

ビオ・サバールの法則の式・・・@

 

で与えられるという法則です。

 

簡単に言えば、「ビオ・サバールの法則を使うと、電流が流れている電線の周りの磁界を求めることができます。」ってことですね。

 

このビオ・サバールの法則の式を使うと任意の点Pの磁界の大きさを求めることができるのですが、ここでちょっと注意です!

 

@式をみると、左辺は「dH」と書かれていますよね?

 

これは、微小部分dlだけによる磁界の大きさ という意味で、つまり、電線に流れている電流全体によって作られている磁界の大きさではありません。

 

ビオ・サバールの法則の説明図A

 

なので、電線に流れる電流全体によって作られる点Pの磁界の大きさを求めるためには、

 

(微小部分dlが点Pに作る磁界)+(微小部分dlが点Pに作る磁界)+(微小部分dlが点Pに作る磁界)+・・・

 

と、足し合わせていく必要があります。つまり、こういうことです。

 

ビオ・サバールの法則の説明図B

 

この足し合わせる計算を一つ一つしていったら大変ですよね? 電線が無限の長さだったら無限に計算が続いてしまいます。計算が終わりません!

 

こんな計算のときには積分が役に立ちますね!

 

@式の両辺を積分してみましょう。@式の両辺を積分すると、

 

ビオ・サバールの法則の式の積分の計算過程

 

ビオ・サバールの法則の式を積分した式・・・A

 

このA式には積分範囲(積分する範囲)が書いていなくて不定積分の形になっていますが、積分範囲は求めたい電線(電流)の形状などを考慮して与えればいいです。

 

これなら無限に計算をする必要がないですね!

 

では次に、このビオ・サバールの法則を使って、無限直線状電流による磁界の大きさ、円形コイル電流による磁界の大きさを求めてみることにしましょう。

ビオ・サバールの法則による無限直線状電流の磁界の大きさの求め方

まず初めに、ここでの無限直線状電流について説明します。

 

無限直線状電流とは、無限に長く続く直線に流れる電流という意味で次の図のようなものです。

 

無限直線状電流の説明図

 

どこまでもず〜っと真直ぐな電線に流れている電流ということですね。説明ってほどでもありませんが、こんな電流です。

 

それで、この無限直線状電流から距離a離れた一点を点Pとしたとき、

 

点Pの磁界の大きさはいくらでしょうか?

 

点Pの磁界の大きさは?

 

電線の微小部分をdl、dlの方向(電線の接線方向)とdlから点Pを見たときの方向とのなす角をθ、dlと点Pとの距離をrとして図を書くと次のようになりますね。

 

無限直線状電流と点Pの位置関係

 

ビオ・サバールの式(@式)は、こんな式でした。

 

ビオ・サバールの法則の式・・・@

 

この@式と上図を見比べてみると、電線に流れる電流はI、微小部分はdl、dlの方向(電線の接線方向)とdlから点Pを見たときの方向とのなす角はθ、dlと点Pとの距離はr・・・

 

あ、そのまんま@式を使えますね。なので、微小部分dlだけによる磁界の大きさdHは、

 

無限直線状電流の微小部分により作られる磁界の大きさdHの式・・・B

 

ここで、先ほど「注意」として書いたように、dHはdlだけによる磁界の大きさでした。

 

今求めたい磁界の大きさは、無限に長い直線状電流によって作られる磁界の大きさなので、B式を足し合わせ(積分)しなければなりませんね。

 

積分範囲は、直線状の電流が無限に長く続いているので、−∞から+∞となります。

 

積分範囲の説明図

 

したがって、B式を−∞から+∞の範囲で積分すればいいです。なのでB式より、

 

無限直線状電流によって作られる磁界の大きさの計算過程@

 

4πとIは定数なので積分の外に出しましょう。(「π」ってパイです。)

 

無限直線状電流によって作られる磁界の大きさの計算過程A・・・C

 

C式をみると、あらら困りました・・・。lで積分する式になっているのですが、積分の中の式は変数θとrになっています。このままでは積分できないので、C式を定数aとθの式に変形します。

 

点Pから直線状電線に垂直にひいた線分と直線状電線との交点を原点として座標を考えると、次のようになりますね。

 

点Pから直線状電線に垂直にひいた線分と直線状電線との交点を原点として考えたときの座標

 

この図より、a=r sin?θ・・・Dl=-r cos?θ・・・Eが成り立ちます。
(E式は上図よりマイナスが付くことに注意しましょう。)

 

D式より、r=a/sinθ・・・F

 

F式をE式に代入すると、l=-a/sinθ・cosθ ∴l=-acosθ/sinθ・・・G

 

G式をθで微分します。すると、

 

dl/dθの計算過程@

 

dl/dθの計算過程A

 

∴dl=a/sin2θdθ・・・H

 

F、H式をC式に代入するとθの式になりますが、lの式からθの式に変換しているのでC式の積分範囲が変わります。

 

C式はlで積分する式で、積分範囲が−∞から+∞ですが、これをθで考えた場合の積分範囲は0から+πになります。

 

lの式からθの式に変換するときの積分範囲の説明図

 

したがって、F、HをC式に代入して積分範囲をθで考えると、

 

lの式をθの式に変換する計算過程

 

あとは、これを計算していけば、求めたい無限直線状電流によって作られる磁界の大きさが求められます。

 

無限直線状電流によって作られる磁界の大きさの計算過程B

 

無限直線状電流によって作られる磁界の大きさの計算過程C

 

無限直線状電流によって作られる磁界の大きさの計算過程D

 

したがって、無限直線状電流による磁界の大きさは、

 

無限直線状電流によって作られる磁界の大きさ

 

補足|l⇒θに変換する計算方法について

l⇒θに変換する計算過程において、多くの参考書などではcotθやcosecθを使って表わしていますが、このページの計算方法のようにsinθ、cosθだけでも表わす(計算する)ことができます。

 

「cotθやcosecθは苦手だな〜」という方は、このページの計算方法で計算した方が比較的おぼえやすく簡単かもですよ。

 

 


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ビオ・サバールの法則による円形コイル電流の磁界の大きさの求め方

次は円形コイルに流れる電流(ループ電流)により作られる磁界の大きさをビオ・サバールの法則により求めてみます。

 

円形コイルは次のような円形の電線で、この円形コイルを電流がぐるぐる流れています。

 

円形コイルと流れる電流

 

この円形コイルの中心の磁界の大きさはいくらでしょうか?

 

円形コイルの中心を点O、円形コイルの微小部分をdl、円形コイルの中心軸上の任意の点を点P、線分OPの方向とdlから点Pを見たときの方向とのなす角をφ、dlと点Pとの距離をrとして図を書くと次のようになりますね。

 

円形コイルと点Pの位置関係

 

求める磁界の大きさは点Oの磁界の大きさですが、まず点Pの磁界の大きさを求めて、そのあとに条件を代入して点Oの磁界の大きさを求めます。

 

では点Pの磁界の大きさを求めてみましょう。ビオ・サバールの法則の式(@式)は、こんな式でした。

 

ビオ・サバールの法則の式・・・@

 

この@式と上図を見比べてみると、円形コイルに流れる電流はI、微小部分はdl、dlと点Pとの距離はrですね。

 

ここで一つ気を付けなければならないのは、@式の角度θは上図の角度φではなく、dlの方向(電線の接線方向)とdlから点Pを見たときの方向とのなす角です。

 

なので、この場合にはθ=90°となり、@式のsinθはsinθ=1になります。

 

sinθ=1の説明図

 

したがって、微小部分dlによる磁界の大きさdHは、

 

円形コイル電流の微小部分dlによる磁界の大きさdHの式・・・I

 

ここで、点Pに作られる磁界について考えてみましょう。上図を横から見ると次のようになります。(横から見たときの点Pの横方向をx方向、縦方向をy方向としています。)

 

点Pに作られる磁界のベクトル図

 

この図よりdHのx成分dHxは、微小部分dlがぐるっと一周すると全て打ち消しあってゼロになります。

 

点Pを真上から見た図

 

なので、この場合にはy方向成分だけ考えればいいことになります。y方向成分dHyは図より、

 

dHy=dHsinφ・・・J

 

このJ式にIを代入すると、dHy=Idl/4πr2・sinφとなり、

 

これを円形コイルのぐるっと一周分足し合わせたものを求めればいいです。この場合は円形コイルなので、円の円周分(2πa)足し合わせればいいですね。

 

微小部分dlを一周分足し合わせる

 

なので、積分範囲を0から2πaとすると円形コイル電流による磁界の大きさの式は次のようになります。

 

円形コイル電流による磁界の大きさの式・・・K
(x成分Hxは考えなくていいのでy成分Hyが求めるHになります。)

 

あとはK式を計算するだけですが、ここで、次の図のように円形コイルの中心Oを原点とする座標を考えます。

 

円形コイルの中心Oを原点とする座標

 

すると、r=√a2+y2、sinφ=a/(√a2+y2)が成り立つので、

 

これらをK式に代入します。

 

円形コイル電流による磁界の大きさを求める計算過程@

 

円形コイル電流による磁界の大きさを求める計算過程A

 

円形コイル電流による磁界の大きさを求める計算過程B

 

円形コイルの中心軸上の磁界の大きさの式・・・L

 

したがって、求める円形コイルの中心の磁界の大きさはL式にy=0を代入して、

 

円形コイルの中心の磁界の大きさを求める計算過程

 

円形コイルの中心の磁界の大きさ

ビオ・サバールの法則のまとめ

ビオ・サバールの法則についてまとめると次のようになります。

ビオ・サバールの法則のまとめ

  • ビオ・サバールの法則を使うと、電線に流れる電流によって作られる磁界の大きさを求めることができる。
    ビオ・サバールの法則の式
    無限直線状電流により作られる磁界の大きさ
    円形コイル電流により作られるコイル中心の磁界の大きさ

 

補足|磁界の方向について

このページでは磁界の方向については解説しませんでしたが、磁界の方向は右ねじの法則に従った方向になります。右ねじの法則についてはこちらの右ねじの法則のページにまとめていますので参考にしてみてください。

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