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単位ステップ関数のラプラス変換

次のように、$f(t) = 1 \quad ( t \geqq 0 )$ で表わされるような関数を単位ステップ関数といいます。

 

$f(t) = \begin{cases} 1 & ( t \geqq 0 ) \\ 0 & ( t \lt 0 ) \end{cases}$

 

単位ステップ関数のグラフ

 

この単位ステップ関数 $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ を求めてみます。

 

ラプラス変換の定義式より、$F(s)$ は次式となります。

 

$F(s) = \displaystyle\int_0^\infty f(t) \, e^{-st} \, dt$ $= \displaystyle\int_0^\infty 1 \cdot e^{-st} \, dt$ $= \displaystyle\int_0^\infty e^{-st} \, dt$

 

$\therefore F(s) = \displaystyle\int_0^\infty e^{-st} \, dt$ …@

 

したがって、@式の積分を計算すると、単位ステップ関数のラプラス変換が求められます。

 

$F(s) = \displaystyle\int_0^\infty e^{-st} \, dt = \left[ \dfrac{e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty$

 

$t$ で積分なので、$s$ は定数と同じように扱えるので $\dfrac{1}{-s}$ を前に出します。

 

$F(s) = - \dfrac{1}{s} \left[ e^{-st} \right]_0^\infty = - \dfrac{1}{s} \left[ \dfrac{1}{e^{st}} \right]_0^\infty$ $= - \dfrac{1}{s} \left[ \dfrac{1}{e^\infty} - \dfrac{1}{e^0} \right]$

 

ここで、$\dfrac{1}{e^\infty} = 0$ 、$\dfrac{1}{e^0} = \dfrac{1}{1} = 1$ であるので、

 

$F(s) = - \dfrac{1}{s} ( 0-1 ) = \dfrac{1}{s}$

 

したがって、単位ステップ関数のラプラス変換は、

 

$\therefore F(s) = \dfrac{1}{s}$ となります。

 

 


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ランプ関数のラプラス変換

次のように、$f(t) = t \quad ( t \geqq 0 )$ で表わされるような関数をランプ関数といいます。

 

$f(t) = \begin{cases} t & ( t \geqq 0 ) \\ 0 & ( t \lt 0 ) \end{cases}$

 

ランプ関数のグラフ

 

このランプ関数 $f(t) = t$ のラプラス変換 $F(s)$ を求めてみます。

 

ラプラス変換の定義式より、$F(s)$ は次式となります。

 

$F(s) = \displaystyle\int_0^\infty f(t) \, e^{-st} \, dt$ $= \displaystyle\int_0^\infty t \cdot e^{-st} \, dt$

 

$\therefore F(s) = \displaystyle\int_0^\infty t \, e^{-st} \, dt$ …@

 

積分の中の関数は、$t$ と $e^{-st}$ の2つの関数で表わされているので、積の微分の公式から $F(s)$ を求めます。(部分積分の公式から直接下記のA式を導いてもOKです。)

 

積の微分の公式より、関数 $t$ と $e^{-st}$ の積の微分は、

 

$( t \cdot e^{-st} )^\prime = (t)^\prime \cdot e^{-st} + t \cdot ( e^{-st} )^\prime$

 

両辺をそれぞれ $0$ から $\infty$ の区間で積分すると、

 

$\displaystyle\int_0^\infty ( t \cdot e^{-st} )^\prime \, dt$ $= \displaystyle\int_0^\infty (t)^\prime \cdot e^{-st} \, dt + \int_0^\infty t \cdot ( e^{-st} )^\prime \, dt$

 

$\left[ t \cdot e^{-st} \right]_0^\infty$ $= \displaystyle\int_0^\infty e^{-st} \, dt + \int_0^\infty t \cdot (-s) e^{-st} \, dt$

 

$\left[ t \cdot e^{-st} \right]_0^\infty$ $= \displaystyle\int_0^\infty e^{-st} \, dt - s \int_0^\infty t \cdot e^{-st} \, dt$

 

$s \displaystyle\int_0^\infty t \cdot e^{-st} \, dt$ $= -\left[ t \cdot e^{-st} \right]_0^\infty + \displaystyle\int_0^\infty e^{-st} \, dt$

 

両辺を $s$ で割って、

 

$\displaystyle\int_0^\infty t \cdot e^{-st} \, dt$ $= -\dfrac{1}{s} \left[ t \cdot e^{-st} \right]_0^\infty + \dfrac{1}{s} \displaystyle\int_0^\infty e^{-st} \, dt$ …A

 

A式の左辺が@式の右辺と等しいので、@式の左辺=A式の右辺とおくと次式が成り立ちます。

 

$F(s)$ $= -\dfrac{1}{s} \left[ \dfrac{t}{e^{st}} \right]_0^\infty + \dfrac{1}{s} \displaystyle\int_0^\infty e^{-st} \, dt$ $= -\dfrac{1}{s} \left( \dfrac{\infty}{e^\infty} - \dfrac{0}{e^0} \right) + \dfrac{1}{s} \left[ \dfrac{e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty$ …B

 

ここでB式第1項について $\dfrac{\infty}{e^\infty} = 0$ 、$\dfrac{0}{e^0} =0$ であり、また、第2項の $\dfrac{1}{-s}$ を前に出すと、

 

$F(s) = -\dfrac{1}{s} (0-0) - \dfrac{1}{s^2} \left[ \dfrac{1}{e^{st}} \right]_0^\infty$ $= 0 - \dfrac{1}{s^2} \left( \dfrac{1}{e^\infty} - \dfrac{1}{e^0} \right)$ $= -\dfrac{1}{s^2} (0-1)$ $= \dfrac{1}{s^2}$ $\because \left( \dfrac{1}{e^\infty} = 0 \ \text{、} \dfrac{1}{e^0} = \dfrac{1}{1} = 1 \right)$

 

したがって、ランプ関数 $f(t) = t$ のラプラス変換 $F(s)$ は、

 

$\therefore F(s) = \dfrac{1}{s^2}$ となります。

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