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部分積分の公式の導出

時間 $t$ に関する2つの関数 $f(t)$、$g(t)$ を考えます。

 

このとき、次の式が成り立ちます。

 

$\displaystyle\int f(t) \cdot g^\prime (t) \, dt$ $= f(t) \cdot g(t) - \displaystyle\int f^\prime (t) \cdot g(t) \, dt$

 

これを部分積分の公式(部分積分法の公式)といい、部分積分の公式は次のように積の微分の公式から導出できます。

 

$f(t) \cdot g(t)$ を $t$ で微分したものは、積の微分の公式より次のようになります。

 

$\{ f(t) \cdot g(t) \}^\prime$ $= f^\prime (t) \cdot g(t) + f(t) \cdot g^\prime (t)$ …@ (←積の微分の公式)

 

@式の両辺を $t$ で積分すると、

 

$\displaystyle\int \{ f(t) \cdot g(t) \}^\prime \, dt$ $= \displaystyle\int f^\prime (t) \cdot g(t) \, dt + \int f(t) \cdot g^\prime (t) \, dt$

 

$\displaystyle\int \{ f(t) \cdot g(t) \}^\prime \, dt$ は、$f(t) \cdot g(t)$ であるので、

 

$f(t) \cdot g(t)$ $= \displaystyle\int f^\prime (t) \cdot g(t) \, dt + \int f(t) \cdot g^\prime (t) \, dt$

 

$\therefore \displaystyle\int f(t) \cdot g^\prime (t) \, dt$ $= f(t) \cdot g(t) - \displaystyle\int f^\prime (t) \cdot g(t) \, dt$

 

以上より、積の微分の公式から部分積分の公式を導くことができました。

 

この公式に限らず、公式は丸暗記するよりも導出の方法を知っておいた方が公式を忘れたときにも導くことができるので、試験のときなどにすごく助かりますよ。

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